Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x - 3}{x + 5} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3$

$x = - 5$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = 3, - 5$

Paso 6

Obtén el dominio de $\frac{x - 3}{x + 5}$ .

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x - 3}{x + 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 5 = 0$

Paso 6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 8) - 3}{(- 8) + 5} > 0$

Paso 8.1.3

$3.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 5} > 0$

Paso 8.2.3

$- 0.6$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) - 3}{(6) + 5} > 0$

Paso 8.3.3

$0.\overline{27}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > 3$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (3, \infty)$

Paso 11